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कक्षा 10 गणित — 15 कौशल

BeadBop स्कूल गणित में कक्षा 10 (उम्र 15–16) का बच्चा जो कुछ अभ्यास करता है, NCERT के अनुसार। हर कौशल की आसान व्याख्या और उत्तर सहित उदाहरण — ऐप में मुफ़्त में क़दम-दर-क़दम अभ्यास करें।

कक्षा 10 गणित का मुफ़्त अभ्यास English

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संख्याएँ

अभाज्य गुणनखंडों से HCF और LCM

हर संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखो। HCF = साझा अभाज्य, छोटी घातों के साथ; LCM = सभी अभाज्य, बड़ी घातों के साथ। साथ ही HCF × LCM = दोनों संख्याओं का गुणनफल।

इन पर आधारित: अभाज्य गुणनखंडन

अभ्यास करो:

  1. Find the HCF of 60 and 45. → 15
  2. Find the LCM of 98 and 28. → 196

बीजगणित

द्विघात बहुपद के शून्यक

ax² + bx + c के लिए: शून्यकों का योग = −b/a और गुणनफल = c/a। जिस द्विघात के शून्यकों का योग S और गुणनफल P हो, वह x² − Sx + P है।

इन पर आधारित: बहुपद और शेषफल प्रमेय

अभ्यास करो:

  1. Find the sum of the zeros of x² + x − 6. → −1
  2. Find the product of the zeros of 2x² − 4x − 48. → −24

दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म

x (या y) के गुणांक बराबर करके घटाओ, ताकि एक चर हट जाए। a₁x + b₁y = c₁ और a₂x + b₂y = c₂ में: a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ → एक हल; a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ → कोई हल नहीं; तीनों बराबर → अपरिमित हल।

इन पर आधारित: दो चरों वाले रैखिक समीकरण, दो-चरण वाले समीकरण

अभ्यास करो:

  1. Solve: 5x − 2y = 9 and 3x + 3y = −3 → x = 1, y = −2
  2. How many solutions does this pair have? 5x + y = −9 and 15x + 3y = −27 → infinitely many solutions

द्विघात समीकरण

गुणनखंड करके हर कोष्ठक को 0 रखो, या x = (−b ± √D) / 2a लगाओ, जहाँ D = b² − 4ac। D > 0: दो भिन्न वास्तविक मूल; D = 0: दो बराबर मूल; D < 0: कोई वास्तविक मूल नहीं।

इन पर आधारित: द्विघात बहुपद के शून्यक, बहुपदों का गुणनखंडन

अभ्यास करो:

  1. Solve: x² + 4x − 12 = 0 → x = −6 or 2
  2. Find the discriminant of 4x² − 8x + 4 = 0 and the nature of its roots. → D = 0, two equal real roots

समांतर श्रेढ़ी

पहला पद a और सार्व अंतर d वाली समांतर श्रेढ़ी में: n-वाँ पद aₙ = a + (n − 1)d, और n पदों का योग Sₙ = n/2 × [2a + (n − 1)d]।

इन पर आधारित: दो-चरण वाले समीकरण

अभ्यास करो:

  1. Find the 28th term of the AP: 5, 14, 23, 32, … → 248
  2. Find the 26th term of the AP: −10, −5, 0, 5, … → 115

आकृतियाँ और पैटर्न

समरूप त्रिभुज

त्रिभुज ABC में DE ∥ BC हो, तो AD/DB = AE/EC (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय)। समरूप त्रिभुजों में भुजाएँ एक ही अनुपात में होती हैं और क्षेत्रफल उस अनुपात के वर्ग में।

इन पर आधारित: त्रिभुज और सर्वांगसमता, समानुपात

अभ्यास करो:

  1. In △ABC, DE ∥ BC with D on AB and E on AC. AD = 6 cm, DB = 4 cm and AE = 6 cm. Find EC (in cm). → 4
  2. △ABC ~ △PQR. AB = 5 cm and PQ = 7 cm. If the area of △ABC is 100 cm², find the area of △PQR (in cm²). → 196

दूरी, विभाजन और मध्य-बिंदु

दूरी = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]। मध्य-बिंदु = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)। AB को m : n में बाँटने वाला बिंदु ((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n)) है।

इन पर आधारित: निर्देशांक ज्यामिति, पाइथागोरस प्रमेय

अभ्यास करो:

  1. Find the mid-point of A(−1, 3) and B(3, 11). → (1, 7)
  2. Find the mid-point of A(−6, −1) and B(2, 9). → (−2, 4)

वृत्त की स्पर्श रेखाएँ

स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या पर लंब होती है, इसलिए OP² = त्रिज्या² + स्पर्श रेखा²। बाहरी बिंदु से खींची गई दोनों स्पर्श रेखाएँ बराबर लंबाई की होती हैं।

इन पर आधारित: वृत्त में कोण, पाइथागोरस प्रमेय

अभ्यास करो:

  1. The tangent from a point P to a circle of radius 7 cm is 24 cm long. How far is P from the centre (in cm)? → 25
  2. The tangent from a point P to a circle of radius 24 cm is 7 cm long. How far is P from the centre (in cm)? → 25

त्रिकोणमिति

त्रिकोणमितीय अनुपात

sin = लंब/कर्ण, cos = आधार/कर्ण, tan = लंब/आधार। तालिका याद करो: sin 30° = 1/2, sin 45° = 1/√2, sin 60° = √3/2, tan 45° = 1।

इन पर आधारित: पाइथागोरस प्रमेय

अभ्यास करो:

  1. What is the exact value of sin 90° ? → 1
  2. Evaluate: tan²60° + 4 cos²30° → 6

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

sin²A + cos²A = 1, sec²A − tan²A = 1, cosec²A − cot²A = 1। पूरक कोण: sin(90° − A) = cos A और tan(90° − A) = cot A।

इन पर आधारित: त्रिकोणमितीय अनुपात

अभ्यास करो:

  1. Evaluate: cot 19° ÷ tan 71° → 1
  2. If sin 3A = cos (A − 14°), where 3A is acute, find A (in degrees). → 26

ऊँचाई और दूरियाँ

समकोण त्रिभुज बनाओ: tan(उन्नयन कोण) = ऊँचाई ÷ दूरी। tan 30° = 1/√3, tan 45° = 1, tan 60° = √3।

इन पर आधारित: त्रिकोणमितीय अनुपात

अभ्यास करो:

  1. A tower is 12 m tall. From a point on the ground, the angle of elevation of its top is 30°. How far is the point from the foot of the tower? → 12√3 m
  2. From a point 4 m from its foot, the angle of elevation of the top of a building is 60°. Find the height of the building. → 4√3 m

माप

चाप की लंबाई और त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

θ कोण वाले त्रिज्यखंड के लिए: चाप की लंबाई = θ/360 × 2πr और क्षेत्रफल = θ/360 × πr²। π = 22/7 के साथ r को 7 का गुणज चुनो।

इन पर आधारित: वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल

अभ्यास करो:

  1. A sector of a circle of radius 42 cm has angle 180°. Find its arc length (in cm). (π = 22/7) → 132
  2. A sector of a circle of radius 35 cm has angle 45°. Find its area (in cm²). (π = 22/7) → 481.25

ठोसों का संयोजन और रूपांतरण

किसी ठोस को पिघलाकर नया आकार दें, तो आयतन वही रहता है। गोला = 4/3 πr³, बेलन = πr²h, शंकु = 1/3 πr²h, अर्धगोला = 2/3 πr³।

इन पर आधारित: शंकु, गोला और अर्धगोला

अभ्यास करो:

  1. A metal sphere of radius 12 cm is melted and recast into a cylinder of radius 6 cm. Find the height of the cylinder (in cm). → 64
  2. A toy is a cone of radius 21 cm and height 9 cm on a hemisphere of the same radius. Find its volume (in cm³). (π = 22/7) → 23562

आँकड़े

वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य, बहुलक और माध्यक

वर्ग चिह्न x लेकर माध्य = Σfx ÷ Σf। बहुलक = l + (f₁ − f₀)/(2f₁ − f₀ − f₂) × h। माध्यक = l + (n/2 − cf)/f × h।

इन पर आधारित: माध्य, माध्यक और बहुलक

अभ्यास करो:

  1. Find the mode of this grouped data (class: frequency): 20–40: 4, 40–60: 9, 60–80: 6, 80–100: 13, 100–120: 4 → 88.75
  2. Find the mode of this grouped data (class: frequency): 0–10: 12, 10–20: 13, 20–30: 9, 30–40: 12, 40–50: 4 → 12

ताश, पासे और सिक्कों की प्रायिकता

P(घटना) = अनुकूल परिणाम ÷ कुल परिणाम। ताश की गड्डी में 52 पत्ते होते हैं (13-13 के 4 सूट; 12 फेस कार्ड), दो पासों के 36 परिणाम, तीन सिक्कों के 8।

इन पर आधारित: प्रयोगात्मक प्रायिकता

अभ्यास करो:

  1. One card is drawn from a well-shuffled deck of 52 cards. What is the probability that it is a red card? → 1/2
  2. One card is drawn from a well-shuffled deck of 52 cards. What is the probability that it is a jack or a queen? → 2/13

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