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कक्षा 12 गणित — 15 कौशल

BeadBop स्कूल गणित में कक्षा 12 (उम्र 17–18) का बच्चा जो कुछ अभ्यास करता है, NCERT के अनुसार। हर कौशल की आसान व्याख्या और उत्तर सहित उदाहरण — ऐप में मुफ़्त में क़दम-दर-क़दम अभ्यास करें।

कक्षा 12 गणित का मुफ़्त अभ्यास English

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बीजगणित

संबंध और फलन

संबंध स्वतुल्य है अगर हर (a, a) उसमें हो, सममित अगर (a, b) के साथ (b, a) भी हो, संक्रामक अगर (a, b) और (b, c) से (a, c) मिले। y = ax + b का प्रतिलोम निकालने के लिए x के लिए हल करो: x = (y − b)/a।

इन पर आधारित: संबंध और फलन

अभ्यास करो:

  1. f(x) = x − 1 and g(x) = x² + 1. Find (f∘g)(3). → 9
  2. On A = {1, 2, 3}, R = {(1, 1), (2, 1), (2, 3), (3, 1)}. Which describes R? → reflexive no, symmetric no, transitive yes

आव्यूह

AB में पंक्ति i, स्तंभ j का अवयव = (A की पंक्ति i) · (B का स्तंभ j): जोड़ियों को गुणा करके जोड़ो। m × n आव्यूह को n × p आव्यूह से गुणा करने पर m × p आव्यूह मिलता है।

इन पर आधारित: संबंध और फलन

अभ्यास करो:

  1. A = [−2 1 ; −3 4], B = [5 −3 ; 3 2] (rows separated by ;). Find the entry in row 1, column 1 of AB. → −7
  2. A = [3 3 ; 4 0], B = [−4 0 ; −4 3] (rows separated by ;). Find the entry in row 2, column 2 of AB. → 0

सारणिक

2 × 2 आव्यूह [a b ; c d] के लिए सारणिक = ad − bc। 3 × 3 सारणिक को पहली पंक्ति के साथ + − + चिह्नों से फैलाते हैं। सारणिक 0 हो तो आव्यूह अव्युत्क्रमणीय है, और A⁻¹ = (1/सारणिक) × [d −b ; −c a]।

इन पर आधारित: आव्यूह

अभ्यास करो:

  1. A = [k 3 ; 4 −2] (rows separated by ;). For what value of k is A singular? → −6
  2. A = [k −3 ; −4 4] (rows separated by ;). For what value of k is A singular? → 3

रैखिक प्रोग्रामन

परिबद्ध सुसंगत क्षेत्र पर Z = px + qy का इष्टतम मान किसी कोने के बिंदु पर मिलता है: हर कोने पर Z निकालो और सबसे बड़ा (या सबसे छोटा) चुनो।

इन पर आधारित: रैखिक असमिकाएँ

अभ्यास करो:

  1. The corner points of a bounded feasible region are (0, 6), (1, 2), (6, 0), (6, 6). Find the minimum of Z = 6x + 9y. → 24
  2. The corner points of a bounded feasible region are (0, 0), (11, 0), (8, 4), (0, 5). Find the maximum of Z = 5x + y. → 55

त्रिकोणमिति

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन

मुख्य मान: sin⁻¹ का −π/2 से π/2, cos⁻¹ का 0 से π, tan⁻¹ का −π/2 और π/2 के बीच। इसलिए sin⁻¹(−1/2) = −π/6 पर cos⁻¹(−1/2) = 2π/3।

इन पर आधारित: त्रिकोणमितीय फलन

अभ्यास करो:

  1. Find the principal value of sin⁻¹(−1/2). → −π/6
  2. Find the principal value of cos⁻¹(−1/2). → 2π/3

कलन

सांतत्य

f बिंदु x = a पर संतत है जब बाईं सीमा, दाईं सीमा और f(a) तीनों बराबर हों। जोड़ वाले बिंदु पर दोनों भाग एक ही मान दें, ऐसा k चुनो।

इन पर आधारित: सीमाएँ

अभ्यास करो:

  1. f(x) = (x² − 1)/(x − 1) for x ≠ 1, and f(1) = k. Find k so that f is continuous at x = 1. → 2
  2. f(x) = (x² − 25)/(x − 5) for x ≠ 5, and f(5) = k. Find k so that f is continuous at x = 5. → 10

अवकलन के नियम

शृंखला नियम: d/dx (ax + b)ⁿ = n·a·(ax + b)ⁿ⁻¹। गुणन नियम: (uv)′ = u′v + uv′। भागफल नियम: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²।

इन पर आधारित: अवकलज

अभ्यास करो:

  1. y = (x − 3)(x² + 5). Find dy/dx at x = 2. → 5
  2. y = (x + 2)/(x − 5). Find dy/dx at x = 3 (as a fraction if needed). → −7/4

अवकलज के अनुप्रयोग

मोड़ बिंदु पाने के लिए f′(x) = 0 रखो; f″ > 0 मतलब निम्निष्ठ, f″ < 0 मतलब उच्चिष्ठ। जहाँ f′(x) > 0 हो, वहाँ f वर्धमान है। x = a पर स्पर्श रेखा की ढाल f′(a) है।

इन पर आधारित: अवकलन के नियम

अभ्यास करो:

  1. Find the minimum value of f(x) = 3x² + 6x − 6. → −9
  2. Find the minimum value of f(x) = x² + 8x + 12. → −4

अनिश्चित समाकलन

घात नियम: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C। मानक रूप: ∫cos kx dx = (1/k) sin kx + C, ∫eᵏˣ dx = (1/k) eᵏˣ + C। अपने उत्तर का अवकलन करके जाँचो।

इन पर आधारित: अवकलन के नियम

अभ्यास करो:

  1. Find ∫−12 sin 6x dx. → 2 cos 6x + C
  2. Find ∫12 cos 3x dx. → 4 sin 3x + C

निश्चित समाकलन

प्रतिअवकलज F निकालो, फिर a से b तक ∫ f(x) dx = F(b) − F(a)। उदाहरण: 0 से 2 तक ∫ 3x² dx = 2³ − 0³ = 8।

इन पर आधारित: अनिश्चित समाकलन

अभ्यास करो:

  1. Evaluate ∫ 0 1 (4x² − 4x + 3) dx. → 7/3
  2. Evaluate ∫ −1 4 (−2x² − x + 4) dx. → −185/6

वक्र के नीचे का क्षेत्रफल

x = a से x = b तक y = f(x) के नीचे का क्षेत्रफल a से b तक ∫ f(x) dx है। दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल = उनके मिलन बिंदुओं के बीच ∫ (ऊपर वाला − नीचे वाला) dx।

इन पर आधारित: निश्चित समाकलन

अभ्यास करो:

  1. Find the area (in square units) enclosed between y = x² and the line y = 16. → 256/3
  2. Find the area (in square units) enclosed between y = x² and the line y = 25. → 500/3

अवकल समीकरण

कोटि = सबसे ऊँचा अवकलज; घात = उस सबसे ऊँचे अवकलज की घात। dy/dx = f(x) हल करने के लिए दोनों पक्षों का समाकलन करो और दी गई शर्त से C निकालो।

इन पर आधारित: अनिश्चित समाकलन

अभ्यास करो:

  1. Find the order and degree of (y‴)³ + (y″)² + 4y = 0. → order 3, degree 3
  2. Solve dy/dx = x/y (y > 0) with y = 9 when x = 0. Find y when x = 12. → 15

आकृतियाँ और पैटर्न

सदिश

a = a₁î + a₂ĵ + a₃k̂ के लिए: |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²) और a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a||b| cos θ। a का b पर प्रक्षेप = a·b / |b|।

इन पर आधारित: त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय

अभ्यास करो:

  1. Find the angle between a = −î − k̂ and b = −2î + 2ĵ. → 60°
  2. Find |a × b| for a = −3î + 2ĵ − 3k̂ and b = 2ĵ + 2k̂. → 2√43

त्रिविमीय ज्यामिति

a, b, c की दिक्-कोज्याएँ a/r, b/r, c/r हैं, जहाँ r = √(a² + b² + c²)। (x₁, y₁, z₁) से समतल ax + by + cz = d की दूरी |ax₁ + by₁ + cz₁ − d| / √(a² + b² + c²) है।

इन पर आधारित: सदिश

अभ्यास करो:

  1. Find the distance of the point (−2, 1, −3) from the plane 2x − 2y − z = −17. → 14/3
  2. Find the direction cosines of the vector −2î − 10ĵ + 11k̂. → −2/15, −2/3, 11/15

आँकड़े

प्रायिकता

P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)। A और B स्वतंत्र हैं जब P(A ∩ B) = P(A) P(B)। बेज़: P(थैला I | लाल) = P(I) P(लाल | I) / P(लाल)। द्विपद बंटन का माध्य np और प्रसरण npq होता है।

इन पर आधारित: घटनाओं की प्रायिकता

अभ्यास करो:

  1. X follows a binomial distribution with n = 12 and p = 1/3. Find the variance of X. → 8/3
  2. X follows a binomial distribution with n = 16 and p = 1/2. Find the variance of X. → 4

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