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कक्षा 9 गणित — 14 कौशल

BeadBop स्कूल गणित में कक्षा 9 (उम्र 14–15) का बच्चा जो कुछ अभ्यास करता है, NCERT के अनुसार। हर कौशल की आसान व्याख्या और उत्तर सहित उदाहरण — ऐप में मुफ़्त में क़दम-दर-क़दम अभ्यास करें।

कक्षा 9 गणित का मुफ़्त अभ्यास English

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संख्याएँ

परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ

परिमेय संख्या को p/q के रूप में लिख सकते हैं; उसका दशमलव या तो ख़त्म होता है या दोहराता है। 0.4545… = 45/99 = 5/11, जबकि √2 न ख़त्म होता है न दोहराता है, इसलिए वह अपरिमेय है।

इन पर आधारित: परिमेय संख्याओं का जोड़

अभ्यास करो:

  1. Which fraction has a terminating decimal expansion? → 1/8
  2. Write 0.9777… (only the 7 repeats) as a fraction in simplest form. → 44/45

घातांक और करणी का परिमेयकरण

a^(p/q) का मतलब: q-वाँ मूल लो, फिर घात p करो: 8^(2/3) = 2² = 4। 1/(√a − √b) का परिमेयकरण करने के लिए अंश और हर दोनों को √a + √b से गुणा करो।

इन पर आधारित: घातांक और घात, परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ

अभ्यास करो:

  1. Rationalise the denominator: 1/(√13 + √5) → (√13 − √5)/8
  2. Evaluate 8 2/3 . → 4

बीजगणित

बहुपद और शेषफल प्रमेय

घात x की सबसे बड़ी घात होती है। p(a) निकालने के लिए x = a रखो। शेषफल प्रमेय: p(x) को (x − a) से भाग देने पर शेषफल p(a) आता है।

इन पर आधारित: बीजीय व्यंजक का मान, पूर्णांकों का गुणा-भाग

अभ्यास करो:

  1. Find the remainder when −4x 2 − 9x + 8 is divided by (x + 2). → 10
  2. Find the remainder when −3x 3 + 6x 2 + 7x − 9 is divided by (x − 3). → −15

बहुपदों का गुणनखंडन

ax² + bx + c के लिए ऐसी दो संख्याएँ खोजो जिनका गुणनफल a × c और योग b हो, फिर बीच के पद को तोड़ो: x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)। गुणनखंड प्रमेय: जब p(a) = 0 हो, तब (x − a) एक गुणनखंड है।

इन पर आधारित: बहुपद और शेषफल प्रमेय, गुणनखंडन

अभ्यास करो:

  1. If (x + 2) is a factor of x 3 − x 2 + 8x + k, find k. → 28
  2. Factorise: 3x 2 − 4x − 4 → (x − 2)(3x + 2)

दो चरों वाले रैखिक समीकरण

बिंदु (x, y) समीकरण ax + by = c का हल है, अगर उसके x और y रखने पर दोनों पक्ष बराबर हों। बिंदु रखो, फिर अज्ञात के लिए हल करो।

इन पर आधारित: दो-चरण वाले समीकरण, निर्देशांक ज्यामिति

अभ्यास करो:

  1. Which point is a solution of −3x − y = 11? → (−4, 1)
  2. Find k if x = 2, y = 4 is a solution of kx + 6y = 28. → 2

आकृतियाँ और पैटर्न

निर्देशांक ज्यामिति

(x, y) में x भुज और y कोटि है। चिह्नों से चतुर्थांश पता चलता है: (+,+) I, (−,+) II, (−,−) III, (+,−) IV। जिस बिंदु का y = 0 हो, वह x-अक्ष पर है।

इन पर आधारित: पूर्णांकों का जोड़-घटाव

अभ्यास करो:

  1. What is the ordinate of the point (−2, −7)? → −7
  2. In which quadrant does the point (−5, 8) lie? → Quadrant II

रेखाएँ और कोण

शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं; रैखिक युग्म का योग 180° होता है। तिर्यक रेखा द्वारा काटी गई समांतर रेखाओं में संगत और एकांतर कोण बराबर होते हैं, और अंतःकोणों (एक ही ओर) का योग 180° होता है।

इन पर आधारित: पूरक और संपूरक कोण

अभ्यास करो:

  1. Two parallel lines are cut by a transversal. One angle is 26°. Find its corresponding angle (in degrees). → 26
  2. Two angles form a linear pair and are in the ratio 1 : 2. Find the larger angle (in degrees). → 120

त्रिभुज और सर्वांगसमता

त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है। समद्विबाहु त्रिभुज में बराबर भुजाओं के सामने के कोण बराबर होते हैं। दो त्रिभुज SSS, SAS, ASA/AAS या RHS से सर्वांगसम होते हैं।

इन पर आधारित: रेखाएँ और कोण, त्रिभुज का बाह्य कोण

अभ्यास करो:

  1. In an isosceles triangle the angle between the two equal sides is 60°. Find each base angle (in degrees). → 60
  2. Each base angle of an isosceles triangle is 55°. Find the third angle (in degrees). → 70

चतुर्भुज और मध्य-बिंदु प्रमेय

समांतर चतुर्भुज में सम्मुख कोण बराबर और आसन्न कोणों का योग 180° होता है। मध्य-बिंदु प्रमेय: त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर और उसका आधा होता है।

इन पर आधारित: त्रिभुज और सर्वांगसमता

अभ्यास करो:

  1. In parallelogram ABCD, ∠A = 86°. Find ∠B (in degrees). → 94
  2. In parallelogram ABCD, ∠A = 130°. Find ∠B (in degrees). → 50

वृत्त में कोण

एक ही चाप द्वारा केंद्र पर बना कोण, परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है। एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर होते हैं। चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।

इन पर आधारित: त्रिभुज और सर्वांगसमता

अभ्यास करो:

  1. A, B, C, D lie on a circle, with C and D on the same side of chord AB. If ∠ACB = 79°, find ∠ADB (in degrees). → 79
  2. ABCD is a cyclic quadrilateral with ∠D = 62°. Find ∠B (in degrees). → 118

माप

हीरोन का सूत्र

s = (a + b + c) ÷ 2 निकालो, फिर क्षेत्रफल = √(s(s − a)(s − b)(s − c))। भुजाएँ 5, 5, 6 हों तो s = 8, क्षेत्रफल = √(8 × 3 × 3 × 2) = 12।

इन पर आधारित: बहुभुज का परिमाप, पाइथागोरस प्रमेय

अभ्यास करो:

  1. Use Heron's formula to find the area of a triangle with sides 24 cm, 13 cm and 13 cm (in cm²). → 60
  2. Use Heron's formula to find the area of a triangle with sides 10 cm, 12 cm and 10 cm (in cm²). → 48

शंकु, गोला और अर्धगोला

गोला: पृष्ठीय क्षेत्रफल 4πr², आयतन (4/3)πr³। अर्धगोला: वक्र पृष्ठ 2πr², कुल 3πr², आयतन (2/3)πr³। शंकु: वक्र पृष्ठ πrl, आयतन (1/3)πr²h, जहाँ l² = r² + h²।

इन पर आधारित: वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल, हीरोन का सूत्र

अभ्यास करो:

  1. Find the volume of a cone with radius 5 cm and height 12 cm (in cm³, in terms of π). → 100π
  2. A cone has radius 9 cm and height 12 cm. Find its slant height (in cm). → 15

आँकड़े

माध्य, माध्यक और बहुलक

माध्य = योग ÷ संख्या (तालिका में Σfx ÷ Σf)। माध्यक = क्रम में लगाने पर बीच का मान (संख्या सम हो तो बीच के दो मानों का औसत)। बहुलक = सबसे ज़्यादा बार आने वाला मान।

इन पर आधारित: माध्यिका और बहुलक, माध्य और परिसर

अभ्यास करो:

  1. Marks 10, 12, 14, 45 were scored by 2, 3, 6, 3 students respectively. What is the mode ? → 14
  2. Marks 3, 10, 11, 60 were scored by 5, 7, 2, 8 students respectively. What is the mode ? → 60

प्रयोगात्मक प्रायिकता

प्रयोगात्मक प्रायिकता = घटना कितनी बार हुई ÷ कुल प्रयोग। 100 बार उछालने पर सिक्का 45 बार चित आए, तो P(चित) = 45/100 = 9/20।

इन पर आधारित: सरल प्रायिकता, माध्य, माध्यक और बहुलक

अभ्यास करो:

  1. Out of 250 bulbs tested, 21 were defective. What is the experimental probability that a bulb is not defective ? → 229/250
  2. A coin is tossed 60 times and shows heads 30 times. What is the experimental probability of getting a tail ? (simplest form) → 1/2

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