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कक्षा 11 गणित — 15 कौशल

BeadBop स्कूल गणित में कक्षा 11 (उम्र 16–17) का बच्चा जो कुछ अभ्यास करता है, NCERT के अनुसार। हर कौशल की आसान व्याख्या और उत्तर सहित उदाहरण — ऐप में मुफ़्त में क़दम-दर-क़दम अभ्यास करें।

कक्षा 11 गणित का मुफ़्त अभ्यास English

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बीजगणित

समुच्चय और वेन आरेख

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B): सर्वनिष्ठ भाग दो बार गिना गया था, इसलिए उसे घटाओ। n अवयवों वाले समुच्चय के 2ⁿ उपसमुच्चय होते हैं।

इन पर आधारित: माध्य और परिसर

अभ्यास करो:

  1. In a group of 39 students, every student likes tea or coffee (or both). 12 like tea and 33 like coffee. How many like both ? → 6
  2. In a group of 42 students, every student likes tea or coffee (or both). 30 like tea and 29 like coffee. How many like both ? → 17

संबंध और फलन

अगर n(A) = m और n(B) = n हो, तो A से B तक 2^(mn) संबंध होते हैं। f∘g के लिए अंदर से शुरू करो: (f∘g)(x) = f(g(x))।

इन पर आधारित: समुच्चय और वेन आरेख, बीजीय व्यंजक का मान

अभ्यास करो:

  1. What is the domain of f(x) = 1/(x − 4)? → ℝ − {4}
  2. A has 2 elements and B has 2 elements. How many relations are there from A to B? → 16

सम्मिश्र संख्याएँ

i को एक अक्षर की तरह लो, फिर i² की जगह −1 रखो: (2 + i)(3 − i) = 6 − 2i + 3i − i² = 7 + i। a + bi का मापांक √(a² + b²) है।

इन पर आधारित: पूर्णांकों का गुणा-भाग, बीजीय सर्वसमिकाएँ

अभ्यास करो:

  1. Simplify i 68 . → 1
  2. Write the conjugate of −3 − 6i. → −3 + 6i

रैखिक असमिकाएँ

समीकरण की तरह हल करो, पर जब किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करो, तो चिह्न उलट दो: −2x < 6 → x > −3।

इन पर आधारित: दो-चरण वाले समीकरण

अभ्यास करो:

  1. Solve −7x + 12 > −37 for real x. Which interval is the solution set? → (−∞, 7)
  2. Solve 3x − 2 ≥ −26 for real x. Which interval is the solution set? → [−8, ∞)

द्विपद प्रमेय

(a + b)ⁿ का व्यापक पद Tᵣ₊₁ = ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ है। कुल n + 1 पद होते हैं; n सम हो तो मध्य पद n/2 + 1 वाँ पद है।

इन पर आधारित: क्रमचय और संचय, बीजीय सर्वसमिकाएँ

अभ्यास करो:

  1. Find the coefficient of the middle term in the expansion of (x − 3)⁶. → −540
  2. Find the sum of all the coefficients in the expansion of (2x + 2)⁶. → 4096

अनुक्रम और श्रेणी (गुणोत्तर)

गुणोत्तर श्रेढ़ी में हर पद पिछले का r गुना होता है: aₙ = a·rⁿ⁻¹ और Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1)। दो संख्याओं के लिए समांतर माध्य = (a + b)/2 और गुणोत्तर माध्य = √(ab)।

इन पर आधारित: समांतर श्रेढ़ी

अभ्यास करो:

  1. Find the geometric mean (GM) of 1 and 25. → 5
  2. Find the 6th term of the GP 5, −15, 45, … → −1215

त्रिकोणमिति

त्रिकोणमितीय फलन

π रेडियन = 180°, इसलिए डिग्री को π/180 से गुणा करो। संबद्ध कोणों के लिए संदर्भ कोण निकालो और ASTC याद रखो (चतुर्थांश I–IV में All, Sin, Tan, Cos धनात्मक): sin 210° = −sin 30° = −1/2।

इन पर आधारित: त्रिकोणमितीय अनुपात

अभ्यास करो:

  1. Find the value of tan 225°. → 1
  2. Convert 2π/5 radians to degrees. → 72°

आँकड़े

क्रमचय और संचय

क्रम मायने रखता है → क्रमचय ⁿPᵣ = n!/(n − r)!। क्रम मायने नहीं रखता → संचय ⁿCᵣ = n!/(r!(n − r)!)। उदाहरण: ⁵P₂ = 20, ⁵C₂ = 10।

इन पर आधारित: समुच्चय और वेन आरेख

अभ्यास करो:

  1. In how many ways can a team of 2 be chosen from 7 players? → 21
  2. In how many ways can a team of 4 be chosen from 6 players? → 15

माध्य विचलन और प्रसरण

पहले माध्य x̄ निकालो। माध्य विचलन = Σ|x − x̄| ÷ n। प्रसरण = Σ(x − x̄)² ÷ n, और मानक विचलन = √प्रसरण।

इन पर आधारित: वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य, बहुलक और माध्यक, माध्य और परिसर

अभ्यास करो:

  1. Find the standard deviation of: 13, 8, 8, 14, 16, 19. → 4
  2. Find the mean deviation about the mean of: 39, 37, 32, 40, 42. → 2.8

घटनाओं की प्रायिकता

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), और P(A नहीं) = 1 − P(A)। उदाहरण: P(A) = 1/2, P(B) = 1/3, P(A ∩ B) = 1/6 → P(A ∪ B) = 2/3।

इन पर आधारित: ताश, पासे और सिक्कों की प्रायिकता, समुच्चय और वेन आरेख

अभ्यास करो:

  1. P(A) = 1/3, P(B) = 1/4 and P(A ∩ B) = 1/6. Find P(neither A nor B). → 7/12
  2. P(A) = 1/5, P(B) = 1/3 and P(A ∩ B) = 1/15. Find P(A ∪ B). → 7/15

आकृतियाँ और पैटर्न

सरल रेखाएँ

ढाल m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁); बिंदु-ढाल रूप y − y₁ = m(x − x₁)। (x₁, y₁) से रेखा ax + by + c = 0 की दूरी |ax₁ + by₁ + c|/√(a² + b²) है।

इन पर आधारित: दूरी, विभाजन और मध्य-बिंदु, दो चरों वाले रैखिक समीकरण

अभ्यास करो:

  1. Find the equation of the line with slope −3 passing through (−4, −6). → y = −3x − 18
  2. Find the distance of the point (−5, 2) from the line 12x + 5y + 14 = 0. → 36/13

शंकु परिच्छेद

वृत्त (x − h)² + (y − k)² = r²: केंद्र (h, k), त्रिज्या r। परवलय y² = 4ax: नाभि (a, 0), नाभिलंब 4a। दीर्घवृत्त x²/a² + y²/b² = 1 (a > b): c² = a² − b², e = c/a।

इन पर आधारित: सरल रेखाएँ, निर्देशांक ज्यामिति

अभ्यास करो:

  1. Find the length of the latus rectum of the ellipse x²/25 + y²/16 = 1. → 32/5
  2. Find the radius of the circle x² + y² + 6x − 6y + 14 = 0. → 2

त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय

अंतरिक्ष में दो बिंदुओं की दूरी: √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²)। (x, y, z) के चिह्नों से अष्टांश पता चलता है।

इन पर आधारित: दूरी, विभाजन और मध्य-बिंदु, पाइथागोरस प्रमेय

अभ्यास करो:

  1. Find the distance between the points (−2, −4, −5) and (−13, 6, −7). → 15
  2. In which octant does the point (−7, 8, −2) lie? → VI

कलन

सीमाएँ

पहले x = a रखकर देखो। 0/0 आए, तो गुणनखंड करके (x − a) काट दो। मानक परिणाम: lim (xⁿ − aⁿ)/(x − a) = naⁿ⁻¹ और x → 0 पर lim (sin x)/x = 1।

इन पर आधारित: बहुपदों का गुणनखंडन, त्रिकोणमितीय अनुपात

अभ्यास करो:

  1. Evaluate lim x→2 (x² − 4)/(x − 2). → 4
  2. Evaluate lim x→−2 (−3x² − x + 2). → −8

अवकलज

घात नियम: d/dx(xⁿ) = nxⁿ⁻¹, और अचर गुणा में बने रहते हैं: d/dx(5x³) = 15x²। अवकलज = lim h→0 [f(x + h) − f(x)]/h।

इन पर आधारित: सीमाएँ

अभ्यास करो:

  1. If f(x) = −2x³ − 4x² + 9x − 1, find f′(−1). → 11
  2. Find d/dx (−6x⁷). → −42x⁶

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